在直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为x=-1+costy=sint（t为参数），圆C2与圆C1外切于原点O，且两圆圆心的距离|C1C2|=3，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C1和圆C2的极

Question

在直角坐标系xOy中，圆C₁的参数方程为

x=-1+cost

y=sint

（t为参数），圆C₂与圆C₁外切于原点O，且两圆圆心的距离|C₁C₂|=3，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C₁和圆C₂的极坐标方程；
（2）过点O的直线l₁、l₂与圆C₂异于点O的交点分别为点A和点D，与圆C₁异于点O的交点分别为C和B，且l₁⊥l₂，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

（1）圆C₁的普通方程为（x+1）²+y²=1，∴圆C₁的圆心为C₁（-1，0），半径r₁=1．
圆C₁的一般方程为：x²+y²+2x=0，
∴圆C₁的极坐标方程为ρ²+2ρcosθ=0，即ρ=-2cosθ．
∵圆C₂与圆C₁外切于原点O，且两圆圆心的距离|C₁C₂|=3，
∴圆C₂的圆心C₂（2，0），半径r₂=2．
∴圆C₂的标准方程为（x-2）²+y²=4，化为一般式方程为：x²+y²-4x=0，
∴圆C₂的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
（2）设直线l₁的参数方程为

x=tcosα

y=tsinα

（t为参数0<α<(π)/(2)），l₂的参数方程为

x=-tsinα

y=tcosα

（t为参数），
把

x=tcosα

y=tsinα

代入x²+y²-4x=0得t²-4tcosα=0，∴|OA|=4cosα，
同理可得|OB|=2sinα，|OC|=2cosα，|OD|=4sinα，
∵AC⊥BD，
∴S_{四边形ABCD}=(1)/(2)（OA+OC）（OB+OD）=18sinαcosα=9sin2α．
∴当α=(π)/(4)时，四边形ABCD的面积取得最大值9．