若存在两个正实数x、y，使得等式x+m（y-2ex）（lnx-lny）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数m的取值范围是．

Question

若存在两个正实数x、y，使得等式x+m（y-2ex）（lnx-lny）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数m的取值范围是___．

Answer 1

∵x+m（y-2ex）（lnx-lny）=0，
∴x+m（y-2ex）ln(x)/(y)=0，
即1+m（(y)/(x)-2e）ln(x)/(y)=0，
令(y)/(x)=t，则1-m（t-2e）lnt=0，
∴m=(1)/((t-2e)lnt)，即(1)/(m)=（t-2e）lnt，
令f（t）=（t-2e）lnt，则f′（t）=lnt+1-(2e)/(t)是增函数，
∵f′（e）=lne+1-2=0，
∴当0<t<e时，f′（t）<0，当t>e时，f′（t）>0，
∴f（t）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
∴当t=e时，f（t）取得最小值f（e）=-e，
∴(1)/(m)≥-e，
解得m>0或m≤-(1)/(e)．
故答案为：（-∞，-(1)/(e)]∪（0，+∞）．