分段函数f（x）=ae^x（x≤0）和f（x）=-lnx（x＞0）,其中e为自然对数的底数其中e为自然对数的底数,若关于x的方程f(f(x))=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围

Question

分段函数f（x）=ae^x（x≤0） 和 f（x）=-lnx（x＞0）,其中e为自然对数的底数其中e为自然对数的底数,
若关于x的方程f(f(x))=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围

Answer 1

由于涉及到f[f(x)],因此先分析下f(x)的正负号,显然x≤0时,f(x)的正负号与a相同；00；x≥1时,f(x)≤0.下面分三种情况讨论：
（一）a=0
此时 如x≤0,则f(x)=0,f[f(x)]=0,显然这与“有且只有一个实数解”矛盾.
（二）a>0
1、x≤0时,f(x)=ae^x>0,f[f(x)]=-ln(ae^x)=-lna-x,解方程f[f(x)]=0,得x=-lna,注意要满足x≤0条件；
2、03、x≥1时,f[f(x)]=ae(-lnx)=a/x≠0,方程f[f(x)]=0无解.
由于已有x=1/e这个确定的解,因此若要满足“有且只有一个实数解”,则只有x=-lna不满足x≤0条件,即-lna>0,解得0（三）a<0
1、x≤0时,f(x)=ae^x<0,f[f(x)]=ae^(ae^x)=,方程f[f(x)]=0无解；
2、03、x≥1时,f[f(x)]=ae(-lnx)=a/x≠0,方程f[f(x)]=0无解.
因此,a<0时f[f(x)]=0有且只有一个解
综上,a的取值范围为0

作业帮用户 2017-10-23