已知ab是偶数,求证：可以找到两个整数c,d使得a^2+b^2+c^2=d^2.

Question

已知ab是偶数,求证：可以找到两个整数c,d使得a^2+b^2+c^2=d^2.

Answer 1

一个整数能表示为两个完全平方数之差的充要条件是其除以4的余数不等于2.
由ab为偶数, a, b为两个偶数或一奇一偶, 从而a²+b²被4整除或除以4余1.
因此存在整数c, d使a²+b²+c² = d².
也可以具体构造如下:
1) 当a, b均为偶数, 取d = (a²+b²)/4+1, c = (a²+b²)/4-1,
则c, d均为整数, 且d²-c² = a²+b².
2) 当a, b一奇一偶, 取d = (a²+b²+1)/2, c = (a²+b²-1)/2,
则c, d均为整数, 且d²-c² = a²+b².