（2013•怀化三模）如图1中矩形ABCD中，已知AB=2，AD＝22，MN分别为AD和BC的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM与平面MNCD所成角为60°，如图2（1）求证：BO⊥DO；（2）求AO

Question

（2013•怀化三模）如图1中矩形ABCD中，已知AB=2，AD＝2√(2)，MN分别为AD和BC的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM与平面MNCD所成角为60°，如图2
（1）求证：BO⊥DO；
（2）求AO与平面BOD所成角的正弦值．

Answer 1

方法一：（1）证明：由题设，M，N是矩形的边AD和BC的中点，所以AM⊥MN，BC⊥MN，
∵折叠垂直关系不变，∴∠AMD 是平面ABNM与平面MNCD的平面角，依题意，所以∠AMD=60°，…（2分）
由AM=DM，可知△MAD是正三角形，所以AD=√(2)，
在矩形ABCD中，AB=2，AD=2√(2)，所以，BD=√(6)，由题可知BO=OD=√(3)，
由勾股定理可知△BOD是直角三角形，所以BO⊥DO     …（5分）
（2）如图1（2）设E，F是BD，CD的中点，则EF⊥CD，OF⊥CD，所以CD⊥面OEF，OE⊥CD
又BO=OD，所以OE⊥BD，OE⊥面ABCD，OE⊂面BOD，平面BOD⊥平面ABCD
过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理，可得AH⊥平面BOD，连接OH，…（8分）
所以OH是AO在平面BOD的投影，
所以∠AOH为所求的角，即AO与平面BOD所成角．…（11分）
AH是RT△ABD斜边上的高，所以AH=(2√(3))/(3)，BO=OD=√(3)，
所以sin∠AOH=(2)/(3)（14分）
方法二：空间向量：取MD，NC中点P，Q，如图2建系，则Q（0，0，0），B（

作业帮用户 2016-11-18

问题解析

方法一：（1）先判断∠AMD 是平面ABNM与平面MNCD的平面角，进一步证明△BOD是直角三角形，即可知BO⊥DO；
（2）设E，F是BD，CD的中点，则EF⊥CD，OF⊥CD，所以CD⊥面OEF，OE⊥CD，过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理，可得AH⊥平面BOD，连接OH，则可证∠AOH为AO与平面BOD所成角；
方法二：（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，证明

(√(6))/(2)

BO

•

DO

=0，即可；
（2）求出平面BOD的法向量是

n

＝(x，y，z)，

AO

=（−(√(6))/(2)，−(√(2))/(2)，-1），再利用向量夹角公式即可求得结论．

名师点评

本题考点：

用空间向量求直线间的夹角、距离；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；向量语言表述线线的垂直、平行关系．

考点点评：

本题以平面图形的翻折为载体，考查线线垂直，考查线面角，既用传统方法，又用向量方法，两法并举，细细体会．

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