如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，D、E分别是BC、AB的中点，F是CC1上一点，且CF=2C1F．（1）求证：C1E∥平面ADF；（2）若BC=2，求证：B1F⊥平面ADF．

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3，D、E分别是BC、AB的中点，F是CC₁上一点，且CF=2C₁F．

（1）求证：C₁E∥平面ADF；
（2）若BC=2，求证：B₁F⊥平面ADF．

Answer 1

证明：（1）（证法一）连接CE与AD交于点H，连接FH．
因为D是BC的中点，E是AB中点，
所以H是△ABC的重心，
所以CH=2EH，
又因为CF=2C₁F，
所以C₁E∥FH，
因为FH⊂平面ADF，C₁E⊄平面ADF，
所以C₁E∥平面ADF．
（证法二）取BD中点H，连接EH，C₁H．
因为H是BD的中点，E是AB中点，所以EH∥AD，
因为AD⊂平面ADF，EH⊄平面ADF，所以EH∥平面ADF，
又因为CF=2C₁F，CD=2DH，所以C₁H∥DF，同理C₁H∥平面ADF，
∵EH∩C₁H=H，所以平面C₁EH∥平面ADF，
又C₁E⊂平面C₁EH，所以C₁E∥平面ADF．
（2）因为AB=AC且D是BC中点，∴AD⊥BC，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴B₁B⊥平面ABC，∴B₁B⊥AD
又AD⊥BC，BB∩BC=B，∴AD⊥平面B₁BCC₁，∴AD⊥B₁F，
∵CC₁=3，CF=2C₁F，∴CF=2，C₁F=1，
在△B₁C₁F与△FCD中，∴B₁C₁=FC=2，C₁F=CD=1，∠B₁C₁F=∠FCD，
∴△B₁C₁F≌△FCD，
∴∠C₁B₁F=∠CFD，∴∠C₁FB₁+∠CFD=90°，∴B₁F⊥FD，
∵FD∩AD=D，∴B₁F⊥平面ADF．