如图，固定在水平地面上的凹槽，槽宽D=2.3m，左侧槽缘高h=0.6m、斜面倾角θ=45°，右侧槽缘高H=0.8m、光滑圆弧形轨道足够长．长L=1.6m、高H=0.8m、质量mA=1kg的木板A静止在槽内，左端距凹槽左侧D1

Question

如图，固定在水平地面上的凹槽，槽宽D=2.3m，左侧槽缘高h=0.6m、斜面倾角θ=45°，右侧槽缘高H=0.8m、光滑圆弧形轨道足够长．长L=1.6m、高H=0.8m、质量m_A=1kg的木板A静止在槽内，左端距凹槽左侧D₁=0.3m．可视为质点的滑块B，质量m_B=2kg，放在A上表面的最左端．质量m=1kg、v₀=10m/s的小球水平撞击B后水平反弹，下落过程中刚好与斜面相切通过斜面最高点．已知A与B、A与凹槽底部的动摩擦因数分别为µ₁=(1)/(2)、µ₂=(1)/(6)，B向右滑行过程中未与A共速，A与凹槽左、右侧碰撞后立即停止但不粘连，g取10m/s²．求：

（1）小球与B碰后，B获得的速度v_B
（2）整个过程中A、B间摩擦产生的热量Q．

Answer 1

（1）设小球水平反弹的速度为v_x，从反弹到通过斜面最高点时的时间为t₀，竖直方向的速度为v_y，则有：tanθ=(vy)/(vx) ①
竖直方向有 v_y=gt₀ ②
水平方向有 H-h=(1)/(2)gt₀² ③
设小球与B撞击后，B获得的为v_B，取向右为正方向，由动量守恒定律有：mv₀=-mv_x+m_Bv_B ④
联立①②③④并代入数据得：v_x=2m/s，v_B=6m/s  ⑤
（2）设B滑上凹槽右侧光滑轨道时的速度为v，由于B向右滑行过程中与A未共速，B对地移动的距离为L+D₂（依题意D₂=0.4m），由动能定理：(1)/(2)mBv2-(1)/(2)mB

v

2 B

=-μ1mBg（L+D）⑥
B沿弧形轨道返回到A的右端时速度大小仍为v，设B在A上减速滑行的加速度大小为a₁，A在凹槽内加速滑行的加速度大小为a₂，则有：
   μ₁m_Bg=m_Ba₁ ⑦
 μ₁m_Bg-μ₂（m_A+m_B）g=m_Aa₂ ⑧
现判断B向左移动时是否与A共速．假设经过时间t，A、B共速为v₁，则：
对B：v₁=v-a₁t ⑨
对A：v₁=a₂t ⑩
联立⑥⑦⑧⑨⑩解得：v=4m/s，a₁=5m/s²，a₂=5m/s²，v₁=2m/s⑪
在时间t内：B对地的位移：s₁=(v22-v21)/(2a1)=1.2m⑫
A对地的位移：s=(v22)/(2a2)=0.4m=D2<(D1+D2)=0.7m⑬
B在A上滑行的位移：△s=s₁-s=0.8m<L=1.6m⑭
所以，A与凹槽左侧相碰前，B未滑离A上表面并与A达到共速．
A、B以v₁的速度一起减速到A与凹槽左侧相碰，设A与凹槽左侧相碰时速度为v₂，则有：
-μ₂（m_A+m_B）gD₁=(1)/(2)(mA+mB)

v

2 2

-(1)/(2)(mA+mB)

v

2 1

A与凹槽左边缘相碰后B在A上滑行的距离：s₂=(v22)/(2a1)⑮
解得 s₂=0.3m
即B最终未滑离A上表面，因为s₂<L-△s=0.8m⑰
整个过程A、B间摩擦产生的热量：Q=μ₁m_Bg（L+△s+s₂）⑱
联立⑮⑯⑰并代入数据解得：Q=27J⑲
答：
（1）小球与B碰后，B获得的速度v_B是6m/s．
（2）整个过程中A、B间摩擦产生的热量Q是27J．