已知M⊆{1，2，3，4，5}，若M中所有元素之和称为M的“容量”（规定空集容量为0），若M的容量为奇（偶）数，则称M为奇（偶）子集．求证：（1）M的奇子集与偶子集个数相等：（2）奇子集与

Question

已知M⊆{1，2，3，4，5}，若M中所有元素之和称为M的“容量”（规定空集容量为0），若M的容量为奇（偶）数，则称M为奇（偶）子集．求证：
（1）M的奇子集与偶子集个数相等：
（2）奇子集与偶子集容量相等．

Answer 1

①设S为M的奇子集，令T是偶子集，A→T是奇子集的集到偶子集的一一对应，而且每个偶子集T，均恰有一个奇子集与之对应，故T的奇子集与偶子集个数相等，正确；
②对任一i（1≤i≤5），含i的子集共有2⁴个，M的奇子集与偶子集个数相等可知，
在i≠1时，这2⁴个子集中有一半是奇子集，
在i=1时，同样可得其中有一半是奇子集，
于是在计算奇子集容量之和时，奇子集容量之和是

5

i=1

2³i=120，
根据上面所说，这也是偶子集的容量之和，两者相等，
故M的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．