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证明奇函数在(-∞,0)上是增函数已知奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,求证f(x)在(-∞,0)上是增函数.
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令a>b>0,
f(x)在(0,+∞)上递增
∴f(a)>f(b)
又∵f(x)是奇函数
∴-f(x)=f(-x)
∴f(-a)=-f(a),f(-b)=-f(b)
∴f(-a)<f(-b)
-a<-b<0
∴f(x)在(-∞,0)是增函数
f(x)在(0,+∞)上递增
∴f(a)>f(b)
又∵f(x)是奇函数
∴-f(x)=f(-x)
∴f(-a)=-f(a),f(-b)=-f(b)
∴f(-a)<f(-b)
-a<-b<0
∴f(x)在(-∞,0)是增函数
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