线性代数已知A为n阶方阵,α1α2α3.αn是A的列向量,行列式|A|=0,其伴随矩阵A*≠0,则齐次线性方程组(A*)X=0的通解为

Question

线性代数
已知A为n阶方阵,α1 α2 α3.αn 是A的列向量,行列式|A|=0,其伴随矩阵A*≠0,则齐次线性方程组(A*)X=0的通解为________

Answer 1

这里关于方阵的秩有一条性质：
如果A是满秩,那么其伴随矩阵也是满秩;
如果A（n阶矩阵）的秩是n-1,那么伴随矩阵的秩是1；
如果A的秩是小于n-1的话,伴随矩阵的秩是0；
所以这里说A*≠0,所以A*的秩只能是1;,而A的秩只能是n-1;即(A*)X=0的基础解系中的向量个数为n-1;,而A*与A的乘积=diag(|A|,|A|,|A|,|A|,.)=0矩阵,说明A的所有非零列向量都是A*x=0的解,所以现在要求的就是α1 α2 α3.αn 中的一个极大线性无关组.
但这里无法得出,我觉得缺一个条件,这个条件会是：如告诉你AX=0的通解为（1,0.)让你得出其中一个向量可以有其它n-1个线性表示,这样的话,那剩下的n-1个向量就是所要的极大线性无关组,也就是（A*）X=0的通解