已知4×3矩阵A=（α1，α2，α3），若非齐次线性方程组AX=β的通解为（3，2，1）T+k（1，2，3）T（k为任意常数），令矩阵B=（α1，α2，α3，β+α1），试求线性方程组BY=α2+α3的通解．

Question

已知4×3矩阵A=（α₁，α₂，α₃），若非齐次线性方程组AX=β的通解为（3，2，1）^T+k（1，2，3）^T（k为任意常数），令矩阵B=（α₁，α₂，α₃，β+α₁），试求线性方程组BY=α₂+α₃的通解．

Answer 1

由题意，得
(α1，α2，α3)

1

2

3

＝0和(α1，α2，α3)

3

2

1

＝β
即
α₁+2α₂+3α₃=0
3α₁+2α₂+1α₃=β…①
而矩阵B=（α₁，α₂，α₃，β+α₁），
∴r（B）=r（A）=1
设线性方程组BY=α₂+α₃的一特解为

x1

x2

x3

x4

，BY=0的解为

作业帮用户 2017-10-28

问题解析

由已知AX=β的通解为（3，2，1）^T+k（1，2，3）^T（k为任意常数），得出r（A）=1和AX=0的基础解系以及AX=β的一个特解，然后只需根据已知AX=β的通解求出线性方程组BY=α₂+α₃的特解和BY=0的一个非零解即可，就可求得答案．

名师点评

本题考点：

齐次线性方程组有非零解的充分必要条件．

考点点评：

此题考查非齐次线性方程组的解的结构，要对相关联的方程组之间解的相互关系有较深入的认识．

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