线性代数的几道题,1.设四阶方阵A=（a1,a2,a3,a4),且a1,a2,a3线性无关,a4=a1+a2+a3,已知b=a1+a2+a3+a4,则线性方程组AX=b的通解为2.四阶实对称矩阵A满足A^2=A,且R(A)=3,则|A+E|=3.已知A是n阶可逆矩阵,α1,a2,a3是n

Question

线性代数的几道题,
1.设四阶方阵A=（a1 ,a2,a3,a4),且a1,a2,a3线性无关,a4=a1+a2+a3,已知b=a1+a2+a3+a4,则线性方程组AX=b的通解为
2.四阶实对称矩阵A满足A^2=A,且R(A)=3,则|A+E|=
3.已知A是n阶可逆矩阵,α1,a2,a3是n阶线性无关的列向量,求证Aa1,Aa2,Aa3线性无关（用方程组做,

Answer 1

1：AX=b的通解,等于它的一个特解加上导出组AX=0的通解.所以现在来求AX=0的通解.我们需要知道基础解系的个数,也就是n-r,r是向量组的秩等于极大先线性无关组的个数,我们发现a1 ,a2,a3,a4极大线性无关组就是a1 ,a2,a3,一共3个,那么r=3,n-r=1.基础解系怎么求呢?不妨设X=（x1,x2,x3,x4）我们发现求AX=0也就是a1^x1+a2^x2+a3^x3+a4^x4=0 这时候可以看明白了,唯一的基础解系就是（1,1,1,-1）.导出组的通解为η=k(1,1,1,-1).现在在找一个AX=b的特解ξ即可.A（η+ξ）=b就是Aξ=b那么令ξ=（1,1,1,1）不就行了嘛.所以通解为k(1,1,1,-1)+(1,1,1,1)
2：实对称矩阵一定有实特征值.n=4>r=3,是降秩矩阵、就是说是不可逆的.由于特征值的乘积等于行列式值detA=0,那么4个特征值一定有一个0 .A的其余特征值为μ则A^2的特征值为μ^2.μ^2=μ 得到剩余3个特征值为1.对于|A+E|可以构造f(t)=t+1,这你应该懂的.|A+E|=f(1)^f(1)^f(1)^f(0)等于8.
3：设3个数x1,x2,x3. 令x1^Aa1+x2^Aa2+x3^Aa3=0,证明x1=x2=x3=0即可.化成 A(x1a1+x2a2+x3a3)=0,就可以看出x1=x2=x3=0.