某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD的两条线段围成．设圆弧AB、CD所在圆的半径分别为f（x）、R米，圆心角为θ（弧度

Question

某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD的两条线段围成．设圆弧

AB

、

CD

所在圆的半径分别为f（x）、R米，圆心角为θ（弧度）．

（1）若θ=(π)/(3)，r₁=3，r₂=6，求花坛的面积；
（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？

Answer 1

（1）设花坛的面积为S平方米.S=(1)/(2)r22θ-(1)/(2)r12θ…（2分）
=(1)/(2)×36×(π)/(3)-(1)/(2)×9×(π)/(3)=(9)/(2)π(m2)…（4分）
答：花坛的面积为(9)/(2)π(m2)；…（5分）
（2）

AB

的长为r₁θ米，

CD

的长为r₂θ米，线段AD的长为（r₂-r₁）米
由题意知60•2（r₂-r₁）+90（r₁θ+r₂θ）=1200
即4（r₂-r₁）+3（r₂θ+r₁θ）=40*…（7分）
S=(1)/(2)r22θ-(1)/(2)r12θ=(1)/(2)(r2θ+r1θ)(r2-r1)…（9分）
由*式知，r2θ+r1θ=(40)/(3)-(4)/(3)(r2-r1)…（11分）
记r₂-r₁=x，则0<x<10
所以S=(1)/(2)((40)/(3)-(4)/(3)x)x=-(2)/(3)(x-5)2+(50)/(3)，x∈(0，10)…（13分）
当x=5时，S取得最大值，即r₂-r₁=5时，花坛的面积最大．…（15分）
答：当线段AD的长为5米时，花坛的面积最大．…（16分）