如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是弧ABC的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F，DE交AC于点G．（1）图中有哪些相等的线段；（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所作的辅助线不能

Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是弧

ABC

的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F，DE交AC于点G．
（1）图中有哪些相等的线段；（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）
（2）若过点E作⊙O的切线ME，交AC延长线于点M（请补完整图形），试问．ME=MG是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在满足第（2）问的条件下，已知AF=3，FB=(4)/(3)，求AG与GM的长．（第（1）问中的结论可直接利用）

Answer 1

（1）AO=OB，DF=EF，AC=DE，AG=DG，CG=GE；

（2）ME=MG成立，
证明：连接AD、AE，
∵

AD

=

CD

，
∴∠DEA=∠CAD，
∵∠EGM=∠DEA+∠EAM，
∴∠EGM=∠EAM+∠CAD=∠EAD；
∵EM是⊙O的切线，
∴∠GEM=∠EAD，
∴∠EGM=∠GEM，
∴ME=MG；

（3）连接BC，
∵DF⊥AB，AF=3，FB=(4)/(3)，
∴DF²=AF•FB=4，
∴DF=2；
由（1）知：AC=DE=2DF=4，
由Rt△ABC∽Rt△AGF，得：
(AG)/(AB)=(AF)/(AC)⇒AG=(AB•AF)/(AC)=((3+(4)/(3))×3)/(4)=(13)/(4)
由切割线定理得：EM²=MC•MA，即MG²=（MG-GC）（MG+AG）
∴MG²=[MG-（4-(13)/(4)）]（MG+(13)/(4)）
∴MG=(39)/(40)．