如图，O的直径FD⊥弦AB于点H，E是BF上一动点，连结FE并延长交AB的延长线于点C，AB=8，HD=2．（1）求O的直径FD；（2）在E点运动的过程中，EF•CF的值是否为定值？若是，求出其定值；若不是

Question

如图， O的直径FD⊥弦AB于点H，E是

BF

上一动点，连结FE并延长交AB的延长线于点C，AB=8，HD=2．

（1）求 O的直径FD；
（2）在E点运动的过程中，EF•CF的值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由；
（3）当E点运动到

DBF

的中点时，连接AE交DF于点G，求△FEA的面积．

Answer 1

（1）连接OA，
∵直径FD⊥弦AB于点H，
∴AH=(1)/(2)AB=4，
设OA=x，
在Rt△OAH中，AO²=AH²+（x-2）²，
即x²=4²+（x-2）²，
∴x=5，
∴DF=2OA=10；

（2）是，
∵直径FD⊥弦AB于点H，
∴

AF

=

BF

，
∴∠BAF=∠AEF，
∵∠AFE=∠CFA，
∴△FAE∽△FCA，
∴(AF)/(CF)=(EF)/(AF)，
∴AF²=EF•CF，
在Rt△AFH中，
AF²=AH²+FH²=4⁴+8²=80，
∴EF•CF=80；

（3）连接OE，
∵E点是

DBF

的中点，
∴∠FAE=45°，∠EOF=90°，
∴∠EOH=∠AHG，
∵∠OGE=∠HGA，
∴△OGE∽△HGA，
∴(OE)/(AH)=(OG)/(HG)，
即(5)/(4)=(OG)/(3-OG)，
∴OG=(5)/(3)，
∴FG=OF+OG=(20)/(3)，
∴S_△FEA=S_△EFG+S_△AFG=(1)/(2)FG•OE+(1)/(2)FG•AH=(1)/(2)×(20)/(3)×（4+5）=30．