已知动圆M在y轴右侧与圆F：（x-1）2+y2=1外切，又与y轴相切．（1）求圆心M的轨迹C的方程；（2）已知点P在轨迹C上，过点F作直线l与PF垂直，记l与直线x=-1的交点为R，试探究直线PR与轨迹C是否

Question

已知动圆M在y轴右侧与圆F：（x-1）²+y²=1外切，又与y轴相切．
（1）求圆心M的轨迹C的方程；
（2）已知点P在轨迹C上，过点F作直线l与PF垂直，记l与直线x=-1的交点为R，试探究直线PR与轨迹C是否存在唯一交点，并说明理由．

Answer 1

（1）设M（x，y），（x＞0），
依题意知|MF|=x+1，
即√((x−1)2+y2)=x+1，
整理，得圆心M的轨迹C的方程y²=4x．（x＞0）
（2）由（1）知轨迹C的方程y²=4x．（x＞0）
设R（-1，r），P（(p2)/(4)，p），（p＞0），
∵FR⊥FP，∴

FR

•

FP

＝0，
∴（-2，r）•((p2)/(4)−1，p)＝0，
∴-2（(p2)/(4)−1）+rp=0，解得r=(p)/(2)−(2)/(p)，
直线PR的方程为(y−p)/(r−p)＝(x−(p2)/(4))/(−1−(p2)/(4))，
把r=(p)/(2)−(2)/(p)代入并整理，得2x=py-(p2)/(2)，
联立y²=4x，消去x，得（y-p）²=0，
方程有两个相等的实数根，
∴直线PR与轨迹C存在唯一交点．