如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，直线l：x=4是椭圆C的右准线，F到直线l的距离等于3．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上动点，PM⊥l，垂足为M．是否存在点P，使得

Question

如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，直线l：x=4是椭圆C的右准线，F到直线l的距离等于3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上动点，PM⊥l，垂足为M．是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）设椭圆C的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），
由已知，得

(a2)/(c)＝4

(a2)/(c)−c＝3

∴

a＝2

c＝1

∴b=√(3)．
所以椭圆C的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)=1．
（2）由(PF)/(PM)=e=(1)/(2)，得PF=(1)/(2)PM．∴PF≠PM．
①若PF=FM，则PF+FM=PM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF不可能与PM相等．
②若FM=PM，设P（x，y）（x≠±2），则M（4，y）．
∴√(9+y2)=4-x，∴9+y²=16-8x+x²，又由