微分方程幂级数解法一定收敛到所求函数吗?比如这个RT,像X′′+X3=0(X3是X三次方）这样的方程,幂级数解出来收敛到这个方程的解吗?我是按那个想法编的程序，得到的级数前30项的系数，然后

Question

微分方程幂级数解法一定收敛到所求函数吗?比如这个
RT,像X′′+X3=0 (X3是X三次方）这样的方程,幂级数解出来收敛到这个方程的解吗?
我是按那个想法编的程序，得到的级数前30项的系数，然后发现它不是振动的。一开始我也想到了你的这种做法，这个方程我是根据能量守恒写出来的，但是这个方程最后让麻烦的就是要积 根号（C-X^4)，我不知道这个积不积得出来，所以就放弃了。虽然还不是特别明白，但最关键的应该是你说的“幂级数解出来的解只在收敛域内收敛到方程的解”吧~

Answer 1

这个只能是在幂级数收敛区域内有效了.区域外就不是解了.对于本题没必要用幂级数解.一般设解等于一个无穷多个aix^i相加的和函数,i>=0,然后代入微分方程,比较每个x^i的系数,以解出各个ai,最终就得到一个已知的级数了.
我不知道这题你是怎么利用幂级数解出来的,按常规,幂级数解法运用的时候涉及到未知函数时通常是一次方,如果有二次方以上的话,则涉及到无穷级数的乘方问题,这是很麻烦的.对于你举的例子,由于涉及到未知函数的3次方,所以这个问题很麻烦.（注意：本例的自变量是时间t）
很多时候,幂级数解法是常规解法不好办的情况下不得已而为之的.对于本例,直接用常规解法.如下：
方程两边同每乘以dx/dt,积分
0.5(dx/dt)^2+1/4x^4=C
解得dx/dt,然后用分离变量法求解,得到的解当然是振动的.