已知某级数收敛.求证：以该级数通项的自然数次方为通项的另一级数也收敛.这里编辑公式不易,就用语言描述了,各位多包涵呐^-^

Question

已知某级数收敛.求证：以该级数通项的自然数次方为通项的另一级数也收敛.
这里编辑公式不易,就用语言描述了,各位多包涵呐^-^

Answer 1

如果不限制是正项级数,那么有反例.
例如a[n] = (-1)^n/√n.这是一个交错级数,通项绝对值单调递减趋于0.
根据Leibniz判别法,级数收敛.但是∑a[n]² = ∑1/n发散,结论不成立.
若加上条件a[n] ≥ 0,那么结论成立 (指数r ≥ 1).
由∑a[n]收敛,有a[n] → 0,因此当n充分大时成立0 ≤ a[n] ≤ 1.
于是对r ≥ 1,有0 ≤ a[n]^r ≤ a[n].
根据比较判别法,∑a[n]^r也收敛.