若抛物线y=x^2+bx+c与x轴y轴有3个不同的交点A,B,C,当实数b,c变化时,三角形的外接圆一定经过一个定点此定点的坐标是

Question

若抛物线y=x^2+bx+c与x轴y轴有3个不同的交点A,B,C,当实数b,c变化时,三角形的外接圆一定经过一个定点
此定点的坐标是

Answer 1

设y的零点为A(x1,0),B(x2,0)
C为(0,c)
x1+x2=-b
x1x2=c
外接圆圆心在AB的垂直平分线,也即y的对称轴x=-b/2上,设为P(-b/2, t)
则r^2=PA^2=PC^2
（-b/2-x1)^2+t^2=(-b/2)^2+(c-t)^2
展开：x1^2+bx1=c^2-2ct
得：t=(c^2-x1^2-bx1)/(2c)
因为x1^2+bx1+c=0,故得：t=(c^2+c)/(2c)=(c+1)/2, c-t=(c-1)/2
故r^2=PC^2=b^2/4+(c-1)^2/4
故圆的方程为：(x+b/2)^2+[y-(c+1)/2]^2=b^2/4+(c-1)^2/4
当x=0时,y=1时,不论b,c为何值,点(0,1)都满足圆的方程.
故定点为(0,1)