已知抛物线y=x2-px+p2-14（1）若抛物线与y轴交点的坐标为（0，1），求抛物线与x轴交点的坐标；（2）证明：无论p为何值，抛物线与x轴必有交点；（3）若抛物线的顶点在x轴上，求出这时顶点

Question

已知抛物线y=x²-px+(p)/(2)-(1)/(4)
（1）若抛物线与y轴交点的坐标为（0，1），求抛物线与x轴交点的坐标；
（2）证明：无论p为何值，抛物线与x轴必有交点；
（3）若抛物线的顶点在x轴上，求出这时顶点的坐标．

Answer 1

（1）对于抛物线y=x²-px+(p)/(2)-(1)/(4)，
将x=0，y=1代入得：(p)/(2)-(1)/(4)=1，即p=(5)/(2)，
∴抛物线解析式为y=x²-(5)/(2)x+1，
令y=0，得到x²-(5)/(2)x+1=0，
解得：x₁=(1)/(2)，x₂=2，
则抛物线与x轴交点的坐标为（(1)/(2)，0）与（2，0）；
（2）∵△=p²-4（(p)/(2)-(1)/(4)）=p²-2p+1=（p-1）²≥0，
∴无论p为何值，抛物线与x轴必有交点；
（3）抛物线顶点坐标为（(p)/(2)，-(p2)/(4)+(p)/(2)-(1)/(4)），
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴-(p2)/(4)+(p)/(2)-(1)/(4)=0，
解得：p=1，
则此时顶点坐标为（(1)/(2)，0）．