（2013•郑州模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+52与直线AB交于点A（-1，0），B（4，52）．点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD

Question

（2013•郑州模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+(5)/(2)与直线AB交于点A（-1，0），B（4，(5)/(2)）．点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标；
（3）当点D为抛物线的顶点时，若点P是抛物线上的动点，点Q是直线AB上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+(5)/(2)与直线AB交于点A（-1，0），B（4，(5)/(2)）．
∴

0＝a−b+(5)/(2)

(5)/(2)＝16a+4b+(5)/(2)

，
解得，

a＝−(1)/(2)

b＝2

，
∴抛物线的解析式是y=-(1)/(2)x²+2x+(5)/(2)

（2）如图1，过点B作BF⊥DE于点F．
∵点A（-1，0），B（4，(5)/(2)），
∴易求直线AB的解析式为：y=(1)/(2)x+(1)/(2)．
又∵点D的横坐标为m，
∴点C的坐标是（m，(1)/(2)m+(1)/(2)），点D的纵坐标是（-(1)/(2)m²+2m+(5)/(2)）
∴AE=m+1，BF=4-m，CD=-

作业帮用户 2017-09-19 举报

问题解析

（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式列出关于a、b的方程组，通过解方程组即可求得系数a、b的值；
（2）如图1，过点B作BF⊥DE于点F．则S=

(1)/(2)CD•（AE+BF）=-(5)/(4)（m-(3)/(2)）²+(125)/(4)，所以当m=(3)/(2)时，S取最大值(125)/(4)；
（3）需要分类讨论：①如图2，当PQ∥DC，PQ=DC时．②如图3，当CD∥PQ，且CD=PQ时．③如图4，当PC∥DQ，且PC=DQ时．
分别求得这三种情况下的点Q的坐标．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的性质以及最值的求解方法．解答（3）题时要分类讨论．

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