如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，它的顶点坐标为（5，254），在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）若AB=6，求AD

Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过原点O，它的顶点坐标为（5，(25)/(4)），在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．

（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）若AB=6，求AD的长；
（3）设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．

Answer 1

（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，(25)/(4)），且图象过（0，0）点，
代入顶点式得：
y=a（x-5）²+(25)/(4)，
将（0，0）代入解析式得：
∴0=a（0-5）²+(25)/(4)，
解得：a=-0.25，
∴y=-0.25（x-5）²+(25)/(4)；

（2）∵此函数顶点坐标为（5，(25)/(4)），且图象过（0，0）点，
∴图象与x轴另一交点为：（10，0），
当AB=6时，
∴AO=（10-6）÷2=2，
∴x=2代入解析式得：
y=-0.25（2-5）²+6.25；
y=4，
∴AD=4；

（3）假设AO=x，可得AB=10-2x，
∴AD=-0.25（x-5）²+6.25；
∴矩形ABCD的周长为l为：l=2[-0.25（x-5）²+6.25]+2（10-2x）=-0.5x²+x+20，
∴l的最大值为：(4ac-b2)/(4a)=(-40-1)/(-2)=20.5．