如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”．（1）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的

Question

如果一条抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”．
（1）若抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（-1，0）、
（3，0），且这条抛物线的“抛物菱形”是正方形，求这条抛物线的函数解析式；
（2）如图，四边形OABC是抛物线y=-x²+bx（b＞0）的“抛物菱形”，且∠OAB=60°
①求“抛物菱形OABC”的面积．
②将直角三角板中含有“60°角”的顶点与坐标原点O重合，两边所在直线与“抛物菱形OABC”的边AB、BC交于E、F，△OEF的面积是否存在最小值，若存在，求出此时△OEF的面积；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（-1，0）、（3，0），四边形OABC是正方形，
∴A（1，2），
∴

0＝a−b+c

0＝9a+3b+c

2＝a+b+c

 解得：

a＝−(1)/(2)

b＝1

c＝(3)/(2)

∴抛物线的解析式为：y=-(1)/(2)x²+x+(3)/(2)；
（2）①∵由抛物线y=-x²+bx（b＞0）可知OB=b，
∵∠OAB=60°，
∴A（(b)/(2)，(√(3))/(2)b），
代入y=-x²+bx得：(√(3))/(2)b=-（(b)/(2)）²+b•(b)/(2)，解得：b=2√(3)，
∴OB=2√(3)，AC=6，
∴“抛物菱形OABC”的面积=(1)/(2)OB•AC=6√(3)；
②存在；
当三角板的两边分别垂直与AB和BC时三角形OEF的面积最小，
∵OE⊥AB，
∴∠EOB=(1)/(2)∠AOB=30°，
同理∠BOF=30°，
∵∠EOF=60°
∴OB垂直EF且平分EF，
∴三角形OEF是等边三角形，
∵OB=(2√(3))/(3)，
∴OE=1，
∴OE=OF=EF=1，
∴△OEF的面积=(√(3))/(4)．