已知椭C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，且△PF1F2的周长为4+22．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直

Question

已知椭C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的焦点为F₁，F₂，P是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，且△PF₁F₂的周长为4+2√(2)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线的l是圆O：x²+y²=(4)/(3)上动点P（x₀，y₀）（x₀-y₀≠0）处的切线，l与椭圆C交于不同的两点Q，R，证明：∠QOR的大小为定值．

Answer 1

（Ⅰ）因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，所以b=c，可得a=√(2)c，
又因为△PF₁F₂的周长为4+2√(2)，所以a+c=2+√(2)，所以c=√(2)，
所以a=2，b=√(2)，所以所求椭圆C的方程为(x2)/(4)+(y2)/(2)＝1．   　　　　　   …（5分）
（Ⅱ）证明：直线的l方程为x0x+y0y＝(4)/(3)，且x₀²+y₀²=(4)/(3)，记Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
联立方程√(作业帮用户2017-11-03举报问题解析（Ⅰ）根据以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，可得b=c，利用△PF1F2的周长为4+2√(2)，可得a+c=2+√(2)，从而可求椭圆的几何量，进而可得椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线的l方程与椭圆方程联立，记Q（x1，y1），R（x2，y2），利用韦达定理，确定x1x2+y1y2=0，即可证得结论．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．考点点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)