已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4=9，S3=15．（1）求Sn；（2）设数列{1Sn}的前n项和为Tn，证明：Tn<34．

Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄=9，S₃=15．
（1）求S_n；
（2）设数列{(1)/(Sn)}的前n项和为T_n，证明：Tn<(3)/(4)．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
S₃=(1)/(2)（a₁+a₃）×3=3a₂=15⇒a₂=5，
∴d=(a4-a2)/(2)=2，a₁=3，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，
Sn=(3+2n+1)/(2)•n=n(n+2)；
（2）证明：(1)/(n(n+2))=(1)/(2)（(1)/(n)-(1)/(n+2)），
则Tn=(1)/(1×3)+(1)/(2×4)+…+(1)/(n(n+2))=(1)/(2)(1-(1)/(3)+(1)/(2)-(1)/(4)+(1)/(3)-(1)/(5)+…+(1)/(n)-(1)/(n+2))
=(1)/(2)（1+(1)/(2)-(1)/(n+1)-(1)/(n+2)）=(3)/(4)-(1)/(2)（(1)/(n+1)+(1)/(n+2)）<(3)/(4)．