数列1^0.5,2^0.5,3^0.5.n^0.5的前n项和

Question

数列1^0.5,2^0.5,3^0.5.n^0.5的前n项和

Answer 1

1^0.5,2^0.5,3^0.5.n^0.5 等于n个高度是√x ,宽度是1的长方形并排放在一起的总面积
高度分别是 1,√2,√3 …… √n
和曲线 y=√x 从0.5到n+0.5的部分基本重合
∫0.5→(n+0.5) x^0.5 dx
=(2/3)(n+0.5)^(3/2) - 0.2357
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把每个长方形面积按曲线y=√x 的面积来算是少算了一点.但是误差会随着n的增大而减小.下面计算误差是多少.
计算的每个长方形近似值是 ∫(x-0.5)→(n+0.5) x^0.5 dx
x=1,4,16,64,256时,算出的面积分别是0.989 1.9987 3.99984 7.99998 15.9999975
实际数值是 1 2 4 8 16
误差是 0.011 0.0013 1.6*10^-4 2*10^-5 2.5*10^-6
n增大4倍,误差减小到1/8.
所有误差加起来约等于 0.03
前n项和=(2/3)(n+0.5)^(3/2) - 0.2357 + 0.03