二项式系数求和,

Question

二项式系数求和
,

Answer 1

∑的上下标在没有说明时按照你的标准,组合数按照记号C(i+j,i)
方法一：
设x=1/6,y=1/9
∑∑C(i+j,i)(x^i)(y^j)
=∑∑C( k,i)(x^i)(y^j) 后面一个∑的下面为i+j=k
=∑∑C( k,i)(x^i)(y^(k-i)) 后面一个∑的下面为i+j=k
=∑(x+y)^k
=1/(1-x-y)
=1/(1-1/6-1/9).
注：这里需要绝度收敛的条件.
方法二：
注意牛顿二项式 定理：
1/(1-x)^n=∑C(n+k-1,k)x^k,所以
∑∑C(i+j,i)(x^i)(y^j)
= ∑∑C(i+j,j)(x^i)(y^j)
=∑∑C(i+1+j-1,j)(x^i)(y^j)
=∑(x^i)*1/(1-y)^(i+1)
=[1/(1-y)]{1/[1-x/(1-y)]}
=1/(1-x-y)
=1/(1-1/6-1/9)
结果一样.