已知函数f（x）=ex-ax-a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（I）当a=e时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当0≤a≤1时，求证f（x）≥0；（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（1+12）（1+12

Question

已知函数f（x）=e^x-ax-a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…）．
（I）当a=e时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当0≤a≤1时，求证f（x）≥0；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（1+(1)/(2)）（1+(1)/(22)）…（1+(1)/(2n)）<e．

Answer 1

（Ⅰ）当a=e时，f（x）=e^x-ex-e，f′（x）=e^x-e，
当x<1时，f′（x）<0；当x>1时，f′（x）>0；
所以函数f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=-e，函数f（x）无极大值；
（Ⅱ）由f（x）=e^x-ax-a，f′（x）=e^x-a
①当a=0时，f（x）=e^x≥0恒成立，满足条件，
②当0则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）<0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）>0，
∴函数f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）在x=lna处取得极小值即为最小值，
f（x）_min=f（lna）=e^lna-alna-a=-alna
∵0min≥0，
∴综上得，当0≤a≤1时，f（x）≥0；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f（x）≥0 恒成立，所以f（x）=e^x-x-1≥0恒成立，
即e^x≥x+1，∴ln（x+1）≤x，令x=(1)/(2n)（n∈N₊），得ln(1+(1)/(2n))≤(1)/(2n)，
∴ln(1+(1)/(2))+ln(1+(1)/(22))+…+ln(1+(1)/(2n))≤(1)/(2)+(1)/(22)+…+(1)/(2n)=((1)/(2)[1-((1)/(2))n])/(1-(1)/(2))=1-((1)/(2))n<1，
∴（1+(1)/(2)）（1+(1)/(22)）…（1+(1)/(2n)）<e．