已知函数f（x）=x2+ax+ax，x∈[1，+∞）且a＜1（1）判断f（x）的单调性并证明；（2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．（3）若函数g（x）=x•f（x）对任意x∈[2，5]时，g（x）+2x+32

Question

已知函数f（x）=(x2+ax+a)/(x)，x∈[1，+∞）且a＜1
（1）判断f（x）的单调性并证明；
（2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
（3）若函数g（x）=x•f（x）对任意x∈[2，5]时，g（x）+2x+(3)/(2)＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）在[1，+∞）上为增函数．
证明如下：
∵f（x）=(x2+ax+a)/(x)=x+a+(a)/(x)=x+2√((a2)/(x))，
x∈[1，+∞）且a＜1，
∴f（x）在[1，+∞）上为增函数．
（2）由（1）知f（x）在[1，+∞）上为增函数，
m满足f（3m）＞f（5-2m），
∴

3m≥1

5−2m≥1

3m＞5−2m

，
解得1＜m≤2．
（3）设g（x）=x²+ax+a，由g（x）+2x+(3)/(2)＞0，
得：x2+a(x+1)+2x+(3)/(2)＞0，
即a（x+1）＞-（x+1）²-(1)/(2)，①
∵x∈[2，5]，∴x+1∈[3，6]，
∴①式可转化为a＞-（x+1）-(1)/(2(x+1))，
∴题目等价于a＞-（x+1）-(1)/(2(x+1))在x∈[2，5]上恒成立．
即a大于函数y=-（x+1）-(1)/(2(x+1))在x∈[2，5]上的最大值．
即求y=（x+1）+(1)/(2(x+1))在x∈[2，5]上的最小值．
令t=x+1，t∈[3，6]，
则y=t+(1)/(2t)，由（1）得y=t+(1)/(2t)在t∈[3，6]上为增函数，
所以最小值为(19)/(6)．所以-(19)/(6)＜a＜1．