已知函数f（x）=x2-2lnx，h（x）=x2-x+a．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数k（x）=f（x）-h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x²-2lnx，h（x）=x²-x+a．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数k（x）=f（x）-h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′(x)＝2x−(2)/(x)，令f′（x）=0，∵x>0∴x=
所以f（x）的极小值为1，无极大值．（7分）
（Ⅱ）∵

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	_	0	+
f（x）	减	1	增

k(x)＝f(x)−h(x)＝−2lnx+x−a∴k′(x)＝−(2)/(x)+1，
若k′（x）=0，则x=2
当x∈[1，2）时，f′（x）<0；
当x∈（2，3]时，f′（x）>0．
故k（x）在x∈[1，2）上递减，在x∈（2，3]上递增．（10分）
∴

k(1)≥0

k(2)<0

k(3)≥0

∴

a≤1

a>2−2ln2

a≤3−2ln3

∴2−2ln2<a≤3−2ln3．
所以实数a的取值范围是：（2-2ln2，3-2ln3]（15分）