一道美国微积分课本上的题题目是这样的：“使f(x)=0(x为有理数）1(x为无理数）,g(x)=0(x为有理数）x(x为无理数）求limf(x),limg(x).”x-0x-0个人认为两道题答案应均为不存在,因为f(x)在0与1之

Question

一道美国微积分课本上的题
题目是这样的：
“使f(x)=0 (x为有理数）
1 (x为无理数） ,
g(x)=0 (x为有理数）
x (x为无理数）
求lim f(x) ,lim g(x).”
x-0 x-0
个人认为两道题答案应均为不存在,因为f(x)在0与1之间震荡（oscillate）,g(x)在0与任意无理数之间震荡,都不会有一个特定的极值,但是答案是这样的：
“lim f(x)不存在,因为f(x)在x接近0时在0与1之间震荡；lim g(x)=0因为x越接近0,g(x)就越接近零.”
如此我就不明白了：这本课本上讲“极值是在自变量接近某值时函数所接近的值”,也就是一个趋势问题,g(x)在总趋势上看似是接近0,但在微观上他仍然是在震荡,所以不应该有极值.（个人认为）
请各位大虾指教（答案尽量简单些,小弟在上高中……）
应要求附加原题：
121.Let f(x)=0,if x is rational
1,if x is irrational
and
g(x)=0,if x is rational
x,if x is irrational
Find (if possible) lim f(x) and lim g(x)
x-0 x-0
lim f(x) does not exist because f(x) oscillates between two fixed values as x approaches 0;
lim g(x) = 0 because,as x gets incresingly closer to 0,the values of g(x) become incresingly closer to 0.
(Houghton,Calculus)
针对“小南VS仙子”老师的答案：
如果如此的话那么lim (x*cos(1/x)) (x-0)的答案应该是什么呢？从[0,1]或[-1,0]区间总体上来看，y值却是在接近x，但是我认为这样也说的通:
lim (x*cos(1/x)) = lim x * lim cos(1/x) = 0 * 不存在 = 不存在
到底怎样才算是宏观？怎样才算微观？小弟认为这应该没有一个绝对的概念。

Answer 1

这个比较好理解啊,但不是专业术语哈.你想,先看x从负无穷到0的过程,显然振荡是存在的,但是所谓的振幅是越变越小的,举个例子,当x从－1走到0的过程中,g(x)取值可以理解为－1...0...-1/2...0...－0.000000000000001...0...这样我们看到g(x)的取值越来越趋近于x轴,即g(x)＝0直线.所以从极限定义上看,当x无限趋近于0时候,取有理数,g(x)为0,取无理数,g(x)趋近于0.就具备了极限条件,我们就说其极限存在,为0.同理,再看x从正无穷到0,显然右极限也为0,所以极限是存在的.
另外楼主提到了微观,我们所说的都不是微观上,因为一微观相当于提高了精确度,比如说g(x)=1/x,求当x趋向于无穷大时候,g(x)的极限,我们知道结果是0,但是严格来看,x无论取多大,1/x都不可能为0,但是具备一个趋势,就是与0的差的绝对值无限趋近于0,这样我们才引出了极限的定义.极限的定义就是无限趋近,但是不能逾越.
lim (x*cos(1/x)) = lim x * lim cos(1/x) 这个分解是错误的.只有两个极限lim x 和lim cos(1/x)都存在的情况下,才能分解.请看好书.按照你的意思.lim 1＝limx*lim1/x,显然不成立.