有甲、乙两只相同的溢水杯分别盛满密度为ρ1、ρ2的液体，放在水平桌面上．若将体积为30cm3的小球A轻放入甲溢水杯，小球A浸没在液体中，从甲杯溢出30g液体．若将小球A轻放入乙溢水杯，

Question

有甲、乙两只相同的溢水杯分别盛满密度为ρ₁、ρ₂的液体，放在水平桌面上．若将体积为30cm³的小球A轻放入甲溢水杯，小球A浸没在液体中，从甲杯溢出30g液体．若将小球A轻放入乙溢水杯，小球A静止时有(1)/(3)体积露出液面，从乙杯溢出40g液体．若用细线分别拉住小球A浸没在两杯液体中静止，如图所示，此时，两杯中液体的质量分别为m₁、m₂，液体对杯底的压力分别为F₁、F₂，两杯对桌面的压力差为4.1N．已知：小球A的密度ρ_A＞ρ₁，求m₁、m₂、F₁、F₂的值．

Answer 1

∵小球A浸没在液体中，V_排1=V_A，m_排1=30g=0.03kg，
∴根据阿基米德原理得：
F_浮1=G_排1=m_排1g=ρ₁gV_A，
则：ρ₁=(m排1)/(VA)=(0.03kg)/(30×10−6m3)=1×10³kg/m³，
∵将小球A轻放入乙溢水杯，V_排2=（1-(1)/(3)）V_A=(2)/(3)V_A，m_排2=40g=0.04kg．
∴根据物体的漂浮条件得：
G_A=F_浮2=G_排2=m_排2g=ρ₂gV_排2，
则：ρ₂=(m排2)/(V排2)=(0.04kg)/((2)/(3)×30×10−6m3)=2×10³kg/m³，
如图甲、乙溢水杯对桌面的压力分别为：F₁′=G₁+F_浮1、F₂′=G₂+G_A，
已知压力差为4.1N，即：G₂+G_A-（G₁+F_浮1）=4.1N
∴m₂g+m_Ag-（m₁g+m_排1g）=4.1N，
即：ρ₂gV+m_Ag-（ρ₁gV+m_排1g）=4.1N，
V=(4.1N−(mA−m排1)g)/((ρ2−ρ1)g)=(4.1N−(0.04kg−0.03kg)×10N/kg)/((2×103kg/m3−1×103kg/m3)×10N/kg)=4×10^-4m³；
∴m₁=ρ₁V=1×10³kg/m³×4×10^-4m³=0.4kg=400g，
m₂=ρ₂V=2×10³kg/m³×4×10^-4m³=0.8kg=800g，
液体对杯底的压力：
F₁=p₁s=ρ₁ghs=ρ₁g（V+V_A）=1×10³kg/m³×10N/kg×（4×10^-4m³+30×10^-6m³）=4.3N，
F₂=p₂s=ρ₂ghs=ρ₂g（V+V_A）=2×10³kg/m³×10N/kg×（4×10^-4m³+30×10^-6m³）=8.6N．
答：m₁=400g，m₂=800g，F₁=4.3N，F₂=8.6N．