（2012•莆田）（1）如图①,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D．求证：AB2=AD•AC；（2）如图②,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D为BC边上的点,BE⊥AD于点E,延长BE交AC于点F．AB/BC=BD/DC=1,求AF/FC的值

Question

（2012•莆田）（1）如图①,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D．求证：AB2=AD•AC；
（2）如图②,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D为BC边上的点,BE⊥AD于点E,延长BE交AC于点F．
AB /BC =BD /DC =1,求AF /FC 的值； （重在第二题 麻烦大家写清晰些）急用!

Answer 1

1、根据射影定理,易证：AB^2=AD*AC
具体证法：∵∠ABC=90°,∴∠A＋∠C＝90°,又∵BD⊥AC于D,∴∠ADB＝∠CDB＝90°
,∴∠A＋∠ABD＝90°,所以∠A＝∠A,∠C＝∠ABD,∴△ADB相似于△ABC,所以AB/AD=AB/AC,∴AB^2=AD*AC.
2、根据梅氏定理,可得：①式：BD/DC*CA/AF*BF/EF=1;②式:CD/DB*BF/EF*ED/DA=1.∵AB/BC=DB/DC=1,∴AB=2BD,CA/AF*BF/EF=1=BF/EF*ED/DA（将BF/EF消掉）,∴CF/CA=DE/DA.易证△ABD相似于△BED相似于△AEB,所以DE/BE=BE/AE=1/2,∴DE/AE=1/4.∵DE/DA=CF/CA,所以AE/DE=AF/CF=1/4.