已知函数f(x)=Inx-ax^2+2bx(a>0)且f'(1)=0,试问函数f(x)图像上是否存在两点A试问函数f（x）图像上是否存在两点A（x1,y1）,B（x2,y2）,其中x2＞x1,使得函数f（x）在x=(x1+x2)/2处的切线与AB平行?若存在请求

Question

已知函数f(x)=Inx-ax^2+2bx(a>0)且f'(1)=0,试问函数f(x)图像上是否存在两点A
试问函数f（x）图像上是否存在两点A（x1,y1）,B（x2,y2）,其中x2＞x1,使得函数f（x）在x=(x1+x2)/2处的切线与AB平行?若存在请求出A,B坐标,不存在说明理由.

Answer 1

f'(x)=1/x-2ax+2b
∵f'(1)=0 ∴1-2a+2b=0 2b=2a-1
f(x)=lnx-ax^2+(2a-1)x
设x1=x-d x2=x+d
则A(x-d,ln(x-d)-a(x-d)^2+(2a-1)(x-d)) B(x+d,ln(x+d)-a(x+d)^2+(2a-1)(x+d))
1/x-2ax+2a-1
={ln(x+d)-a(x+d)^2+(2a-1)(x+d)-[ln(x-d)-a(x-d)^2+(2a-1)(x-d)]}/(2d)
={ln[(x+d)/(x-d)]-2adx+2d(2a-1)}/(2d)
2d/x-4adx+4ad-2d=ln[(x+d)/(x-d)]-2adx+4ad-2d
2d/x-2adx=ln[(x+d)/(x-d)]
例如取x=2e d=e 可求得：a=(ln3-1)/(4e^2)
A(e,1-(ln3-1)/4+(ln3-1)/(2e)-e) B=(3e,1+ln3-9(ln3-1)/4+3(ln3-1)/(2e)-3e)