如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB=120°，∠ADC=90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．（1）求证：AD=DE；（2）求∠DCE的度数；（3）若BD=1，求AD，CD的长．

Question

如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB=120°，∠ADC=90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．

（1）求证：AD=DE；
（2）求∠DCE的度数；
（3）若BD=1，求AD，CD的长．

Answer 1

（1）证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE
∴△ABD≌△ACE，∠BAC=∠DAE，
∴AD=AE，BD=CE，∠AEC=∠ADB=120°，
∵△ABC为等边三角形
∴∠BAC=60°
∴∠DAE=60°
∴△ADE为等边三角形，
∴AD=DE，
（2）∠ADC=90°，∠AEC=120°，∠DAE=60°
∴∠DCE=360°-∠ADC-∠AEC-∠DAE=90°，
（3）∵△ADE为等边三角形
∴∠ADE=60°
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°
又∵∠DCE=90°
∴DE=2CE=2BD=2，
∴AD=DE=2
在Rt△DCE中，DC=√(DE2-CE2)=√(22-12)=√(3)．