已知如图，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF。求证：DE=DF。

Question

已知如图，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF。
求证：DE=DF。

Answer 1

证明：分别取AC、BC中点M、N，连接MD、ND，再连接EM、FN，

 ∵D为AB中点，∠AEC=90°，∠BFC=90°，
∴EM=DN= AC，FN=MD= BC，DN∥CM且DN=CM，
∴四边形MDNC为平行四边形，
∴∠CMD=∠CND，
∵∠EMC=∠FNC=90°，
∴∠EMC+∠CMD=∠FNC+∠CND，
即∠EMD=∠FND，
∴△EMD≌△DNF，
∴DE=DF。