若点A,B是抛物线x*2=2y上不同的两点,抛物线过点A,B的切线的交点P在直线x--y--1=0上.问AB是否过定点?

Question

若点A,B是抛物线x*2=2y上不同的两点,抛物线过点A,B的切线的交点P在直线x--y--1=0上.问AB是否过定点?

Answer 1

由题意可得 AB直线斜率存在 设 y=kx+b
A（x1,y1） B（x2,y2）
y=x²/2
所以 y'=x
所以 过A的切线方程为 y=x1（x-x1）+y1=x1*x-x1²+y1
过 B的切线方程为 y=x2（x-x2）+y2=x2*x-x2²+y2
因为 A,B在抛物线上 所以 x1²=2y1 x2²=2y2
所以 y=x1*x-y1 y=x2*x-y2
所以P 点坐标为 【（y1-y2）/（x1-x2）,（x1+x2）k/2-y1/2-y2/2】
（y1-y2）/（x1-x2）=k
k-（x1+x2）k/2+y1/2+y2/2=1
所以 （2-x1-x2)k=2-y1-y2
所以 y1+y2-kx1-kx2=2-2k
y1=kx1+b
y2=kx2+b
所以 2b=y1+y2-kx1-kx2
所以 b=1-k
所以 y=kx-k+1=k（x-1）+1
经过定点 （1,1）