已知抛物线y2=2px（p＞0），过点（2，0）作直线与抛物线交于两点，若两点纵坐标之积为-8．（1）求抛物线的方程；（2）斜率为1的直线不经过点P（2，2）且与抛物线交于A、B．①求直线l在y轴

Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），过点（2，0）作直线与抛物线交于两点，若两点纵坐标之积为-8．
（1）求抛物线的方程；
（2）斜率为1的直线不经过点P（2，2）且与抛物线交于A、B．
①求直线l在y轴上截距b的取值范围；
②若AP、BP分别与抛物线交于另一点C、D，证明：AD、BC交于一定点M．

Answer 1

（1）设直线方程为y=kx-2k，代入抛物线，列出y的方程y²-(2p)/(k)y-4p=0，
∵两点纵坐标之积为-8
∴-4p=-8，∴p=2
∴抛物线方程为y²=4x；
（2）设直线l的方程为y=x+b（b≠0），由于直线不过点P，因此b≠0
代入抛物线方程得x²+（2b-4）x+b²=0，由△＞0，解得b＜1
所以，直线l在y轴上截距的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）
（3）设A，B坐标分别为((m2)/(4)，m)，((n2)/(4)，n)，因为AB斜率为1，所以m+n=4，
设D点坐标为((yD2)/(4)，yD)，因为B、P、D共线，所以k_PB=k_DP，得y_D=(8−2n)/(2−n)=(2m)/(m−2)
直线AD的方程为y-m=(yD−m)/((yD2)/(4)−(m2)/(4))（x-(m2)/(4)）
当x=0时，y=(myD)/(yD+m)=2
即直线AD与y轴的交点为（0，2），同理可得BC与y轴的交点也为（0，2），
所以AD，BC交于定点（0，2）．