已知圆C：（x-1）2+y2=16，F（-1，0），M是圆C上的一个动点，线段MF的垂直平分线与线段MC相交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）记点P的轨迹为C1，A、B是直线x=-2上的两点，满足AF⊥BF，曲

Question

已知圆C：（x-1）²+y²=16，F（-1，0），M是圆C上的一个动点，线段MF的垂直平分线与线段MC相交于点P．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）记点P的轨迹为C₁，A、B是直线x=-2上的两点，满足AF⊥BF，曲线C₁与过A，B的两条切线（异于x=-2）交于点Q，求四边形AQBF面积的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）依题意得圆心C（0，1），半径r=4，
∵线段MF的垂直平分线与线段MC相交于点P，
∴|PF|+|PC|=|PM|+|PC|=CM=4>|CF|=2．
∴点P的轨迹方程是以C，F为焦点，长轴长为4的椭圆，
即a=2，c=1，则b=2²-1=3，
∴P的轨迹方程是(x2)/(4)+(y2)/(3)=1．
（Ⅱ）依题意，直线AF斜率存在且不为零，设为y=k（x+1），
令x=-2得A（-2，-k），同理B（-2，(1)/(k)）．
设过点A的切线为y=k₁（x+2）-k，代入(x2)/(4)+(y2)/(3)=1
得(3+4k12)x2+8k1(2k1-k)x+4(2k1-k)2-12=0x+4[（2k₁-k）²-3]=0．
由△=64k12(2k1-k)2-16(3+4k12)[(2k1-k)2-3]=0，解得k1=(k2-3)/(4k)，
同理k₂=((-(1)/(k))2-3)/(4•(-(1)/(k)))=(3k2-1)/(4k)．
联立方程组：

y=(k2-3)/(4k)(x+2)-k

y=(3k2-1)/(4k)(x+2)+(1)/(k)

，解得x=-4．
∴SAQBF=(1)/(2)|AB||xF-xQ|=(3)/(2)|k+(1)/(k)|≥3，当且仅当k=±1时等号成立，
∴四边形AQB