己知函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a（a∈R），e为自然对数的底数．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间：（2）①若存在实数x，满足f（x）<0，求实数a的取值范围：②若有且只有唯一整数x0，

Question

己知函数f（x）=e^x（2x-1）-ax+a（a∈R），e为自然对数的底数．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间：
（2）①若存在实数x，满足f（x）<0，求实数a的取值范围：②若有且只有唯一整数x₀，满足f（x₀）<0，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=e^x（2x-1）-x+1，导数f′（x）=e^x（2x+1）-1，
当x>0时，e^x>1，2x+1>1，可得f′（x）>0；
当x<0时，0x<1，2x+1<1，可得f′（x）<0．
即有f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（-∞，0）；
（2）①由f（x）<0可得e^x（2x-1）当x>1时，a>(ex(2x-1))/(x-1)；当x<1时，a<(ex(2x-1))/(x-1)；
记g（x）=(ex(2x-1))/(x-1)，g′（x）=(ex(2x2-3x))/((x-1)2)，
可得g（x）在（-∞，0），（(3)/(2)，+∞）上递增；在（0，1），（1，(3)/(2)）递减；
可得当a>1时，a>g（(3)/(2)）=4e (3)/(2)；当x<1时，a<g（0）=1，
综上可得，a的取值范围是（-∞，1）∪（4e (3)/(2)，+∞）；
②由①可得0<a<1时，x₀∈（-∞，1），由f（x₀）<0，得g（x₀）>a，
又g（x）在（-∞，0）递增，在（0，1）递减，且g（0）=1>a，
则g（-1）≤a，即a≥(3)/(2e)，故(3)/(2e)≤a<1；
当a>4e (3)/(2)，x₀∈（1，+∞），由f（x₀）<0，得g（x₀）<a．
又g（x）在（1，(3)/(2)）递减，（(3)/(2)，+∞）上递增，且g（(3)/(2)）=4e (3)/(2)<a，
可得

g(2)<a

g(3)≥a

，解得3e²<a<(5)/(2)e³．
综上可得，实数a的取值范围是[(3)/(2e)，1）∪（3e²，(5)/(2)e³]．