已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x）,当0≤X≤1时,f(x)=1/2x,求使F(X)=-1/2在[0,2010]上的所有X的个数.

Question

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x）,当0≤X≤1时,f(x)=1/2x,求使F(X)=-1/2在[0,2010]上的所有X的个数.

Answer 1

由已知有 f(x+2)=-f(x） 推出 f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
即f(x)是以4为周期的周期函数,因此只需求出在[0,4]上有多少个x使得f(x)
等于-1/2即可.
[0,1]上,f(x)=1/2x;
[1,2]上,f(x)=-f(x-2),注意 x-2 ∈[-1,0],而f(x)是奇函数,在[-1,0]上的
f(x)=-f(-x)=-1/2(-x)=1/2x (∵-x∈[0,1]) 故而
f(x)=-f(x-2)=-1/2(x-2)=-1/2x+1;
[2,3]上,f(x)=-f(x-2)=-1/2(x-2)(同样∵x-2∈[0,1])
[3,4]上,f(x)=-f(x-2)=1/2(x-2-2)=1/2x-2(理由同上)
画出图形易知[0,4]上f(x)=-1/2 的只有x=3这一个,
2010÷4=502……2 ,剩下的[2008,2010]中没有,所以共有502个.