∫∫xyzdxdy=,积分区域为x>=0,y>=0,x^2+y^2+z^2=1

Question

∫∫xyzdxdy= ,积分区域为x>=0,y>=0,x^2+y^2+z^2=1

Answer 1

将曲面分为上侧部分(z≥0)和下侧部分(z≤0)两部分,
先做上侧部分,曲面方程：z=√(1-x²-y²)
∫∫xyzdxdy=∫∫xy√(1-x²-y²)dxdy 积分区域为：x²+y²≤1,x≥0,y≥0
极坐标
=∫∫rcosθrsinθ√(1-r²) *r drdθ
=∫[0→π/2] cosθsinθdθ ∫[0→1] r³√(1-r²)dr
=(1/2)∫[0→1] r³√(1-r²)dr
=(1/4)∫[0→1] r²√(1-r²)d(r²)
令√(1-r²)=u,则r²=1-u²,d(r²)=-d(u²),u：1→0
=-(1/4)∫[1→0] (1-u²)u d(u²)
=(1/2)∫[0→1] (1-u²)u² du
=(1/2)∫[0→1] (u²-u^4) du
=(1/2)[(1/3)u³-(1/5)u^5] |[0→1]
=1/15
下面做下侧曲面,下侧曲面方程：z=-√(1-x²-y²)
∫∫xyzdxdy=-∫∫xy[-√(1-x²-y²)]dxdy
=∫∫xy√(1-x²-y²)dxdy 积分区域为：x²+y²≤1,x≥0,y≥0
因此与刚才结果一样,也是1/15
则本题结果为：1/15+1/15=2/15
其中：
∫[0→π/2] sinθcosθ dθ
=∫[0→π/2] sinθ d(sinθ)
=(1/2)sin²θ |[0→π/2]
=1/2