如图,△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=2,在斜边AB上任取一点D（不包括点A与点B）,相应地,在边BC上取点E,使∠CDE=45°.1,试说明△CAD∽△DBE.2,当△CDE是等腰三角形时,求CE的长.

Question

如图,△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=2,在斜边AB上任取一点D（不包括点A与点B）,相应地,在边BC上取点E,使∠CDE=45°.1,试说明△CAD∽△DBE.2,当△CDE是等腰三角形时,求CE的长.

Answer 1

如图：因∠1＋∠CDE＋∠2＝180°,∠2＋∠B＋∠3＝180°,而∠CDE＝∠B＝45°,所以∠1＝∠3

而∠A＝∠B,

所以△CAD∽△DBE 

当△CDE是等腰三角形时, 有两种情况：

若CE＝DE,易算出CE＝1；

当CD＝DE时,实际上△CAD与△DBE全等,此时可设CE＝x,则有BE＝AD＝2－x,AC＝BD＝2,又因AD＋BD＝AB＝2√2,可得x＝4－2√2