如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F，连接AF．设ABAD＝k，下列结论：（1）△ABE∽△ECF；（2）AE平分∠BAF；（3）当k=1时，△ABE∽△ADF；（4）tan∠EAF=k．其中结论正

Question

如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F，连接AF．设(AB)/(AD)＝k，下列结论：
（1）△ABE∽△ECF；（2）AE平分∠BAF；（3）当k=1时，△ABE∽△ADF；（4）tan∠EAF=k．
其中结论正确的是（　　）

A．（1）（2）（3）（4）
B．（1）（3）（4）
C．（1）（2）
D．（2）（3）

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF；
故（1）正确；
（2）∵△ABE∽△ECF，
∴(EC)/(AB)＝(EF)/(AE)，
∵E是BC的中点，
即BE=EC，
∴(BE)/(AB)＝(EF)/(AE)，
在Rt△ABE中，tan∠BAE=(BE)/(AB)，
在Rt△AEF中，tan∠EAF=(EF)/(AE)
∴tan∠BAE=tan∠EAF，
∴∠BAE=∠EAF，
∴AE平分∠BAF；
故（2）正确；
（3）∵当k=1时，∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∵△ABE∽△ECF，
∴(AB)/(EC)＝(AE)/(EF)＝(BE)/(FC)＝2，
∴CF=(1)/(4)CD
∴DF=(3)/(4)CD，
∴AB：AD=1，BE：DF=2：3，
∴△ABE与△ADF不相似；
故（3）错误．
（4）∵tan∠EAF=(EF)/(AE)＝(BE)/(AB)，而(AB)/(AD)≠(BE)/(AB)，结论错误．
故选：C．