设a为实数，函数f（x）=（x-a）2+|x-a|-a（a-1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a>2时，讨论f（x）+|x|在R上的零点个数．

Question

设a为实数，函数f（x）=（x-a）²+|x-a|-a（a-1）．
（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）当a>2时，讨论f（x）+|x|在R上的零点个数．

Answer 1

（1）∵f（0）≤1
∴f（0）=（0-a）²+|x-a|-a（a-1）=a²+|a|-a（a-1）=|a|+a≤1
∴当a≤0时，不等式为0≤1恒成立，满足条件，
当a>0时，不等式为a+a≤1，
∴0(1)/(2)，
综上所述a的取值范围为（-∞，(1)/(2)]；
（2）当x<a时，函数 f（x）=x²-（2a+1）x+2a，
其对称轴为x=(2a+1)/(2)=a+(1)/(2)>a，此时y=f（x）在（-∞，a）时是减函数，
当x≥a时，f（x）=x²+（1-2a）x，
其对称轴为：x=a-(1)/(2)<a，y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，
综上所述，f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（-∞，a）上单调递减，
（3）设g（x）=f（x）+|x|=

x2+(2-2a)x，x≥a

x2-2ax+2a，0≤x<a

x2-(2a+2)x+2a，x<0

，
当x≥a时，其对称轴为x=a-1，
当0≤x<a时，其对称轴为x=a，
当x>0时，其对称轴为x=a+1，
∴g（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
∵g（0）=2a>0，g（a）=a²+（2-2a）a=2a-a²=-（a-1）²+1，
又a>2，
∴g（a）=-（a-1）²+1在（2，+∞）上单调递减，
∴g（a）<g（2）=0，
∴f（x）在（0，a）和（a，+∞）上各有一个零点，
综上所述a>2时，f（x）+|x|在R上有2个零点．