一道高一水平的数学体,具体如下:函数y=f(x)定义在R上,当x>0时,f(x)>1,且对任意m,n,有f(m+n)=f(m)f(n),当m≠n时f(m)≠f(n).1)求f(0)2)问函数f(x)是不是R上的单调函数?证明该结论3)设A=｛（x,y）/f(x2)f(y2)≤f(1)

Question

一道高一水平的数学体,具体如下:
函数y=f(x)定义在R上,当x>0时,f(x)>1,且对任意m,n,有f(m+n)=f(m)f(n),当m≠n时f(m)≠f(n).
1)求f(0)
2)问函数f(x)是不是R上的单调函数?证明该结论
3)设A=｛（x,y）/f(x2)f(y2)≤f(1)｝,B=｛（x,y）/f（ax+bx+c）=1,a,b,c∈R,a≠0｝,若A∩B=Ф,求a,b,c满足的条件
注：x2 是x的平方.

Answer 1

(1)令n=0,m不等于0f(m+0)=f(m)f(0),因为m不等于0,那么f(m)不等于f(0),所以f(0)=1
(2)令m大于n,那么(m-n)大于0,那么f(m-n)大于1,f(m)=f(m-n+n)=f(m-n)f(n)大于f(n),所以单调递增.
(3)[那个B是不是打错了,应该是B={(x,y)/f(ax+by+c)=1,a,b,c属于R,a不等于0}?]这个解答就简单了!从A得出一个不等式:x2+y2小于等于1,它的图象在平面直角坐标系中就是以圆点为圆心,1为半径的园面.从B得出一个直线方程ax+by+c=0,它的图象就是个直线.A和B交集为空集,说明这两个图形没有公共部分,即是直线和圆外离.只需要圆点到直线的垂直距离大于1就可以了.
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