已知函数f（x）=2ax-1x-（2+a）lnx（a≥0）．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（2，3），x1，x2∈[1，3]，恒有（m-ln3）a-2ln3＞|f（x1）-f（x2

Question

已知函数f（x）=2ax-(1)/(x)-（2+a）lnx（a≥0）．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；
（3）若对任意的a∈（2，3），x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）当a=0时，f(x)＝−1x−2lnx⇒f、(x)＝1x2−2x＝1−2xx2(x＞0)…（2分）由f、(x)＝1−2xx2＞0，解得x＜12，可知f（x）在（0，12）上是增函数，在（12，+∞）上是减函数．…（4分）∴f（x）的极大值为f(12)＝2ln2...