（2014•成都）如图，已知抛物线y=k8（x+2）（x-4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-33x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为-5

Question

（2014•成都）如图，已知抛物线y=(k)/(8)（x+2）（x-4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-(√(3))/(3)x+b与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

Answer 1

（1）抛物线y=(k)/(8)（x+2）（x-4），
令y=0，解得x=-2或x=4，
∴A（-2，0），B（4，0）．
∵直线y=-(√(3))/(3)x+b经过点B（4，0），
∴-(√(3))/(3)×4+b=0，解得b=(4√(3))/(3)，
∴直线BD解析式为：y=-(√(3))/(3)x+(4√(3))/(3)．
当x=-5时，y=3√(3)，
∴D（-5，3√(3)）．
∵点D（-5，3

作业帮用户 2017-09-20

问题解析

（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k的值；
（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；
（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+(1)/(2)DF．如答图3，作辅助线，将AF+(1)/(2)DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题是二次函数压轴题，难度很大．第（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数k，增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会．

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