已知直线y=-2x+b（b≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为y=x2-（b+10）x+c．（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y=-2x+b上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B作直线

Question

已知直线y=-2x+b（b≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为y=x²-（b+10）x+c．
（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y=-2x+b上，试确定这条抛物线的解析式；
（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y=-2x+b的解析式．

Answer 1

（1）直线y=-2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A坐标为（(b)/(2)，0），点B坐标（0，b），
由题意知，抛物线顶点P坐标为（(b+10)/(2)，(4c−(b+10)2)/(4)），
∵抛物线顶点P在直线y=-2x+b上，且过点B，
解得b₁=-10，c₁=-10，b₂=-6，c₂=-6，
∴抛物线解析式为y=x²-10或y=x²-4x-6；
（2）∵点A坐标（(b)/(2)，0），点B坐标（0，b），
∴OA=|(b)/(2)|，OB=|b|，
又∵OA⊥OB，AB⊥BC，
∴△OAB∽△OBC
∴(OB)/(OC)=(OA)/(OB)
∴OB²=OA•OC，
即b²=OC•|(b)/(2)|，
∴OC=(2b2)/(|b|)
∵抛物线y=x²-（b+10）x+c的对称轴为x=(b+10)/(2)且抛物线对称轴过点C，
∴|(b+10)/(2)|=(2b2)/(|b|)．
（i）当b≤-10时，-(b+10)/(2)=-2b，
∴b=(10)/(3)（舍去）
经检验，b=(10)/(3)不合题意，舍去．
（ii）当-10≤b＜0时，(b+10)/(2)=-2b，
∴b=-2，
（iii）当b＞0时，(b+10)/(2)=2b，
∴b=(10)/(3)，
此时抛物线对称轴直线为x=-(−((10)/(3)+10))/(2×1)=(20)/(3)＞0，
BC与x轴的交点在x轴负半轴，
故不符合题意，舍去．
∴直线的解析式为y=-2x-2．